Probabilidad y funciones de distribución

Probabilidad

¿Qué se entiende por probabilidad?

La probabilidad se puede definir como la frecuencia de aparición de un suceso con relación a todos los sucesos posibles. Por ejemplo, cuando se dice que en un examen un alumno tiene una probabilidad del 70% de obtener un notable, se está diciendo que el alumno obtendría un notable 70 veces de cada 100 veces que hiciese el examen en condiciones similares.

Esta forma de entender la probabilidad se basa en el número de veces que se repite algo. Sin embargo, ésta no es la única forma de entender el concepto de probabilidad. De hecho también es posible entender la probabilidad como la apreciación subjetiva de que se produzca el suceso. Esta perspectiva se basa en las teorías de Thomas Bayes (http://es.wikipedia.org/wiki/Bayes).

Supongamos que en el centro escolar tenemos a 120 alumnos y 267 alumnas. La probabilidad de que nos encontremos con una alumna al entrar al centro es de 0,68 (ó 68% expresado como porcentaje). Si en el mismo centro existen 12 docentes, 3 administrativos, y 6 personas de limpieza, la probabilidad de encontrar a alguien del personal de servicios (administrativo o de limpieza) es del 42% aproximadamente. Este 42% o 0,42 expresado como proporción, es resultado de sumar la probabilidad de encontrar a un administrativo (3/21=0,14) o a una persona de la limpieza (6/21=0,28). Es decir 3/21 + 6/21 = 9/21 que es 0,42.

En ocasiones la probabilidad de que suceda algo depende de otro suceso previo. En este caso, las probabilidades son condicionadas y se escriben como P(A|B), es decir, la probabilidad P de que suceda A suponiendo que antes ha sucedido B. El cálculo de la probabilidad condicionada se realiza según la siguiente fórmula (expresión 1).

P(A|B)=P(A y B)/P(B) (Expresión 1)

Hay una cosa muy interesante que merece la pena comentar y corresponde con la siguiente pregunta ¿La probabilidad de que suceda A suponiendo que ha sucedido B, es igual a la probabilidad de B suponiendo que ha sucedido A? Es decir, ¿P(A|B) = P(B|A)?

La respuesta es que no. Por ejemplo, si A es estar aprobado en un examen y B es haberse presentado al examen, tendríamos que la probabilidad de haber aprobado (A) está condicionada a presentarse al examen (B). Por el contrario, la probabilidad de presentarse al examen (B) es independiente de (A) de forma que presentarse al examen no garantiza aprobarlo. Así, P(A|B) no es lo mismo que P(B|A). El hecho de pensar que son iguales se llama la “falacia de la probabilidad condicional”. En realidad, la relación entre P(A|B) y P(B|A) es la siguiente (expresión 2):

P(A|B)=P(B|A)·(PA)/P(B) (Expresión 2)

Veamos ahora la situación del siguiente aula compuesta por 10 alumnos.

Tabla 1. Alumnos de un aula

Nombre	Edad	Sexo	Color del pelo	Nº de hermanos	Calificación último examen	Le gusta comer verdura
Andrea	12	M	M	2	5	S
Jessica	12	M	M	2	9	N
Marina	13	M	R	1	4	N
Luis	12	H	M	3	7	N
Loli	11	M	M	2	7	N
Jesús	12	H	P	1	10	S
Eugenio	11	H	M	2	5	S
María José	12	M	R	1	7	N
José	11	H	R	1	8	N
Elena	12	M	M	1	8	N

Leyenda: Sexo (H: hombre; M: mujer), Color del pelo (M: moreno; R: rubio; P: pelirrojo), Le gusta comer verduras (S= Si; N= No)

Sobre los datos del aula, si extraemos alumnos al azar, obtendríamos situaciones como las siguientes (expresadas en porcentaje):

• Probabilidad de elegir a un hombre: 40%
• Probabilidad de elegir a una mujer: 60%
• Probabilidad de que esa persona tenga 12 años: 60%
• Probabilidad de que tenga 11 años: 30%
• Probabilidad de que sea moreno: 60%
• Probabilidad de que sea rubio: 30%
• Probablidad de que sea pelirrojo: 10%
• Probabilidad de que tenga 2 hermanos: 40%
• Probabilidad de que tenga 1 hermano: 50%
• Probabilidad de que tenga 3 hermanos: 10%
• Probabilidad de que la última calificación haya sido un 7: 30%
• Probabilidad de que haya sido un 10: 10%
• Etc.

Además de estás probabilidades podemos obtener otros indicadores:

• Probabilidad de alguien que teniendo 12 años, sea además hombre: 20%.
• Probabilidad de elegir a un alumno que teniendo una calificación de 7, tenga el pelo rubio: 10%.
• Probabilidad de elegir a una persona con un 5 en el examen y que sea moreno: 20%.
• Etc.

Estos datos suceden así porque se conoce perfectamente la composición del aula. Si no se conociese, no se podría decir la probabilidad de un suceso con total garantía. En todo caso, se podría dar una estimación con cierto error asociado. Esto es lo que sucede cuando en los colegios los equipos directivos prevén las matrículas del curso siguiente. Se suele estimar que si las condiciones de la zona no cambian (los vecinos son los mismos, la situación económica es parecida, la normativa no cambia, etc.) la probabilidad de matrículas de alumnas y alumnos será similar a la de este año, la probabilidad de alumnos con discapacidad será similar, etc., aunque siempre con la idea o sospecha, de que seguramente, las proporciones no serán iguales, sino parecidas. Esa diferencia es un problema de la estadística que se estudia en la estimación de parámetros [estimación de parámetros].

Función de probabilidad

Una función de probabilidad es una “artilugio” matemático que trata de relacionar un conjunto de posibles sucesos o fenómenos, con un conjunto de números reales. Así por ejemplo, es posible decir que la probabilidad de lluvia es del 40%, o que la probabilidad de elegir a un alumno que haya obtenido una sobresaliente, en el aula del ejemplo anterior, es del 20% porque existe una función que asocia la posibilidad de lluvia con el número 40 o la calificación con el número 20 respectivamente.

Función de probabilidad y función de distribución de variables discretas

Si partimos de los alumnos del ejemplo anterior podemos establecer la función de probabilidad para cada uno de las variables discretas [variables discretas] anteriores (sexo, color del pelo, número de hermanos, calificación tomando solamente los números enteros). Por ejemplo, para el número de hermanos la función de probabilidad se podrían expresar así:

• Si tiene 11 años se le asigna una probabilidad de 0,3.
• Si tiene 12 años se le asigna una probabilidad de 0,6.
• Si tiene 13 años se le asigna una probabilidad de 0,1.

Tabla 2. Ejemplo función de probabilidad

Nº de hermanos	Probabilidad
1	0,5
2	0,4
3	0,1

Si se calculase la probabilidad acumulada en la tabla 2 podríamos asignar a cada número de hermanos la probabilidad acumulada, es decir, la probabilidad de que elijamos a un alumno con ese número de hermanos o menos. Esta función se llama “función de distribución”.

Tabla 3. Ejemplo función de distribución

Nº de hermanos	Probabilidad	Distribución
1	0,5	0,5
2	0,4	0,9
3	0,1	1

Función de densidad y distribución para variables continuas

En el caso de variables continuas [variable continua] la función se llama de densidad. Cuando la variable es continua no se asignan probabilidades a puntos concretos sino a intervalos, puesto que la probabilidad de un suceso concreto, dentro de un espacio infinito de sucesos (que es lo que sucede cuando se tiene una variable continua) tiende a cero. Para calcular la probabilidad en ese intervalo se recurre a la derivada de la función [derivada]. Al igual que antes, es posible calcular la función de distribución calculando las probabilidades acumuladas.

Distribuciones teóricas de variables aleatorias

En el ejemplo anterior teníamos a nuestra disposición de todos los datos sobre número de alumnos, edad, color del pelo, etc., y de esta forma hemos podido calcular las probabilidades en función de la frecuencia de cada evento. Sin embargo, en la realidad, no solamente podemos trabajar con los datos que hemos observado en la realidad, sino que es posible estudiar funciones y distribuciones de probabilidad de situaciones teóricas a partir de unos pocos supuestos.

Vamos a realizar el siguiente experimento para exponer la idea. Demos un paseo por el barrio de unos 10 o 15 minutos y contabilicemos el número de personas que sean:

a) Excepcionalmente atractivas: ___

b) Atractivas: ___

c) Guapas: ___

d) Menos guapas: ___

e) Poco agraciadas: ___

f) Muy poco agraciadas: ___

Ahora con los número vamos a hacer un gráfico. Seguramente, el gráfico que obtiene será similar al siguiente (ilustración 2).

Ilustración 1. Experimento durante un paseo

Sin el paseo durase más tiempo, de forma que viésemos a muchas más personas, la gráfica sería mucho más simétrica, con pocas personas en los extremos y la mayoría en el centro. Esto no solamente ocurre con la belleza sino que se repite con infinidad de fenómenos psicosociales. Así, las personas que ganan mucho dinero o ganan muy poco suelen ser pocas en comparación con las que tienen salarios más o menos medios, las personas que viven muy cerca de la Universidad o muy lejos suelen ser menos que las que viven a una distancia media, las personas que son muy buenos conductores o muy malos conductores son menos que los que conductores más o menos intermedios, etc.

No siempre tenemos esta forma de organizarse los sucesos. A veces, encontramos otras formas de distribución. Por ejemplo, en los colegios todos los maestros son titulados superiores, sin embargo solamente algunos de ellos tienen un máster de posgrado y normalmente son aún menos los que tiene el título de doctor.

Ilustración 2. Ejemplo de distribución de titulados entre los docentes de un centro escolar

Si trabajamos en una empresa de transportes, todos los trabajadores tendrán el carnet de vehículos y el de camiones. Algunos de ellos tendrán además el de autobús. Serán menos los que tengan el carnet de remolque para grandes vehículos. Aunque en este ejemplo, hay que tener en cuenta que los permisos de circulación son acumulativos, es decir, para tener el de camión hay que tener el de vehículos ligeros, quien tiene el de autobús tiene los anteriores, etc.

Ilustración 3. Ejemplo distribución de permisos de circulación en una empresa de transportes.

En estos dos últimos ejemplos, la mayoría se encuentra a la izquierda de la gráfica y a medida que avanzamos hacia la derecha, las frecuencias (y por tanto las probabilidades) son menores.

Actividad 1. Situaciones reales y distribuciones

Antes de continuar pensad en situaciones reales, de la vida cotidiana, con sucesos probables y tratar de indicar cómo “parecen” organizarse sus frecuencias de aparición.

En definitiva, en la naturaleza hay realidades que cuando se contabilizan se distribuyen según formas repetitivas. Esto es muy importante porque cuando estudiamos un fenómeno, que nos consta que tiende a organizar según una forma reconocida, podemos estimar de ante mano las probabilidades de un suceso con cierto margen de error.

Por ejemplo, supongamos que estamos trabajando en un colegio donde lo normal, lo más frecuente, es que los alumnos se comporten con respeto hacia el profesor y que es muy raro encontrarse con alumnos muy descarados y también es poco frecuente encontrarse con alumnos extremadamente sumisos. Por tanto, la probabilidad de encontrarse con muchos alumnos problemáticos en un mismo aula será muy escasa. No quiere decir que no sea posible, sino que es muy poco probable. En la práctica, estas estimaciones permiten llegar a conclusiones como que, tal vez sea bueno invertir recursos en programas de técnicas de estudio más que en programas de inserción social para todos los alumnos, y derivar los pocos casos de alumnos problemáticos, a intervenciones personalizadas por parte de los orientadores y los educadores sociales.

Por tanto, conociendo cómo se distribuye un fenómeno en un grupo de personas, podríamos estimar hasta qué punto dos grupos se parecen entre sí, o incluso estimar la probabilidad de clasificar bien o mal a las personas según sus resultados, etc. Estas posibilidades son especialmente útiles a la hora del diagnóstico [diagnóstico] y la evaluación educativa [evaluación].

Por tanto, cuando se recoge información sobre las personas con las que trabajamos trataremos de analizar las distribuciones de probabilidad de las variables que nos interesan y comprobar si son de algún tipo de distribución conocida.

¿Cómo se hace esto? Bien, para ello es necesario aprender sobre las característica de algunas de estas distribuciones conocidas en matemáticas, de forma que cuando analicemos descriptivamente nuestros datos seamos capaces de ver si cumplen dichas características.

A continuación se comentan algunas de estas distribuciones teóricas de variables aleatorias así como sus características: distribución de Bernoulli, distribución binomial, distribución de Poisson, y la distribución normal.

Distribución de Bernoulli

Son distribuciones que surgen en experimentos aleatorios donde sólo son posibles dos resultados como cara o cruz, acertar o fallar, ganar o perder, hombre o mujer, comunitario o extracomunitario, etc. A uno de los resultados se le asigna el valor 1 y al otro el valor 0. La función de probabilidad se define de la siguiente forma:

• Si el suceso x es 1 la probabilidad es p.
• Si el suceso x es 0 la probabilidad es q.

Se cumple además, que p=1-q.

P(X=x);
p si x=1;
q si x= 0

Cuadro 1. Distribución de Bernoulli

La media de estas distribuciones coincide con el valor de p y la varianza con al producto pxq.

Media = p
Varianza = p·q

Cuadro 2. Estadísticos de la distribución de Bernoulli

Por ejemplo, el número de alumnos que están en programas de garantía social es de 30 en nuestro centro escolar, centro que cuenta con un total de 600 alumnos. Si el pertenecer o no a un programa de garantía social se distribuye según la distribución de Bernoulli, entonces, pertenecer al programa sería p y no pertenecer sería q.

El valor de p sería 0,05 (p = 30/600= 0,05) y la de q sería 0,95 (q= 570/600= 0,95).

La media o esperanza matemática sería 0,05 (el valor de p) y la varianza sería 0,475 (pxq = 0,05 x 0,95 = 0,475).

Distribución Binomial

A los alumnos del aula que tenemos en el ejemplo inicial, les pedimos que nos dijesen si les gustaba comer verduras. Las repuestas aparecen en la última columna de la tabla 1. A partir de los datos, la probabilidad de que en n veces que pidamos al azar que salga alguien a la pizarra y en k ocasiones salga algún alumno que le gusta la verdura (p) viene dada por la expresión 3.

 (Expresión 3)

Donde n es el número de veces que hemos sacado a alguien a la pizarra y k es el número de veces que se repite el suceso 1 (que al alumno le gusten las verduras). Recordemos que la proporción de alumnos a los que les gustaba las verduras, según la tabla 1, era de 3 Sies por 7 Noes, y por tanto era del 30%.

Para abreviar y no poner muchas fórmulas, la distribución Binomial se indica con B mayúscula seguida del valor n y el valor p entre paréntesis: B(n,p). De esta forma cualquier persona sabe que nos estamos refiriendo a una distribución binomial de n ensayos y con una probabilidad p asociada a la característica de interés.

Para estas distribuciones la media es el producto de n por p, y la varianza es el producto de n por p y por q.

Media = n·p
Varianza = n·p·q

Cuadro 3. Estadísticos de la distribución binomial

Continuando con el ejemplo de la verdura en nuestro aula, si sabemos que la probabilidad de que las verduras gusten en nuestro alumnos es del 30% en porcentaje, y por tanto de 0,3 (3/10) en proporción, ¿cuál es la probabilidad de que de cada 10 alumnos que salgan a la pizarra (pudiendo salir varias veces un mismo alumno), 7 veces salga alguien a quien le gusta la verdura?

En este caso k=7, n=10, y p=0,3. Sustituimos en la fórmula (expresión 3) y obtendremos 0,009 que en porcentaje es el 0,9%.

En este mismo ejemplo, la media (esperanza matemática) es 3 (media=10·0,3= 3), mientras que la varianza es 2,1 (varianza=10·0,3·0,7= 2,1).

Actividad 2. Gráfica de distribución binomial

Realizar distintas gráficas donde aparezca el resultado de la función de probabilidad para distintos valores de p y q en una población de 8.000 alumnos, extrayendo muestras de 10, 30, 60, 100, 200 y 500 alumnos.

Distribución de Poisson

Es conocida por la distribución de los acontecimientos "raros". Se utiliza para casos donde un suceso que suelen producirse extremadamente poco, por ejemplo el número de alumnos que dejan de estudiar en un centro por traslado de la familia a otro país, o número de alumnos diabéticos en un mismo aula, etc. La probabilidad de un suceso se calcula a partir de la expresión 4.

(Expresión 4)

Tanto la esperanza matemática como la varianza coinciden con el producto nxp y se suele conocer como parámetro alfa o parámetro λ.

Media = n·p
Varianza = n·p

Cuadro 4. Estadísticos de la distribución de Poisson

Actividad 3. Gráfica de distribución de Poisson

Realizar distintas gráficas donde aparezca el resultado de la función de probabilidad para valores de p=(0,001; 0,1; 0,2; y 0,5) en una población de 8000 alumnos y extrayendo 10 personas y 500 personas.

Distribución de variables continuas: distribución normal

La más frecuente de las distribuciones continuas es la “normal” o campana de Gauss, o por lo menos es sobre la que más se escribe en los manuales de estadística. Una variable continua sigue una distribución Normal o de Gauss si su función de densidad viene dada por la expresión 5:

(Expresión 5)

Abreviadamente se indica como N(μ,σ). Donde μ es la media y σ es la desviación típica. La distribución normal forma una curva simétrica que se extiende desde menos infinito hasta más infinito, aunque lo interesante es la zona de la campana, donde se establece la mayor área de probabilidad de los sucesos.

Un caso particular es aquel donde la media es igual a cero y la desviación típica es uno. En tal caso se dice que la normal está tipificada y se escribe como N(0,1). El proceso para tipificar cualquier N(μ,σ) es relativamente sencillo:

• En primer lugar, a todos los casos le restamos el valor de su media (di=xi-μ).
• Posteriormente dividimos cada resultados entre su desviación típica (zi=di/σ).

Cuando se tipifican los datos se logra equipara distintas distribuciones normales y es más fácil, por ejemplo, compararlas.

Teorema del límite central

El teorema central del límite o teorema del límite central (TLC) dice que la distribución muestral de medias tiende a ser normal a medida que aumenta el tamaño de las muestras cuando la población de origen está distribuida normalmente (Johnson y Kuby, 1999).

Este teorema es muy útil porque si nos consta que una variable se distribuye normalmente en una población, cuando trabajamos con muestras procedentes de esa población sabemos que las variables también tenderán a distribuirse normalmente. Además, el TLC nos dice que esa tendencia es más marcada a medida que nuestra muestra es mayor. Esto se cumple sobre todo cuando el tamaño de la muestra supera los 30 elementos, y la proporción del suceso que nos interesa se encuentre entre 0,1 y 0,9. Incluso, esta aproximación mejora considerablemente si la proporción se aproxima a 0,5.

Un ejemplo gráfico se observa en la siguiente secuencia (ilustración 4). En ella observamos que a medida que aumenta el número de ensayos de una distribución Binomial, la tedencia es a parecerse a una distribución normal.

Ilustración 4. Teorema del límite central en acción (Obtenido del sitio: http://eyeintheskygroup.com/)

Para ampliar

Sugerimos que visites los siguientes sitios web para aclarar algunas ideas y completar el contenido del capítulo:

• Cómo se resuelve un problema de probabilidad: http://educacion.practicopedia.com/matematicas/como-se-resuelve-un-problema-de-probabilidad-10823
• Vídeos docentes sobre Probabilidad y Teoría de la Decisión del profesor Javier Díez (UNED): http://www.ia.uned.es/~fjdiez/docencia/videos-prob-dec/2.1-Introd-prob.avi
• De la serie de televisión Numbers (fuente: youtube): http://youtu.be/0Nj1axW-Sb4

Ejercicios individuales

[Es habitual encontrarse ejercicios descontextualizados, la mayoría vinculados al juego de azar que poco tienen que ver con la realidad de los centros educativos (bromas aparte). Después tenemos a profesores que hacen tan divertido el contenido que aunque los enunciados hablen de cosas de educación... ¡no hay quien se entere! (por ejemplo: http://youtu.be/LEbXndFT-90)]. En los siguiente ejercicios se trata de contextualizar la realidad, con datos simulados, pero que te ponen en un posible contexto de ejercicio laboral.]

En el aula

Como maestros, este año tenemos a los alumnos que aparecen en la tabla de ejercicios 1, donde se han resumido algunos de sus expedientes (son datos totalmente ficticios).

Tabla del ejercicio 1. Alumnos de un aula

Alumno	Edad	Observaciones	Calificación media curso anterior	Asignaturas curso actual	Califi., mes 1º	Califi., mes 2º	Calif., mes 3º
Andrés	12		6	Lenguaje	6	5	6
				Matemáticas	7	8	6
Elena	12	Déficit de atención	5	Lenguaje	5	4	4
				Matemáticas	5	4	5
Andrea	13	Leve retraso madurativo	6	Lenguaje	6	5	6
				Matemáticas	7	6	7
José María	12	Padres separados. Vive con el padre	9	Lenguaje	8	9	9
				Matemáticas	9	10	10
Margarita	11		7	Lenguaje	7	7	8
				Matemáticas	8	7	8
Javier	12	Diabético	7	Lenguaje	8	8	8
				Matemáticas	5	4	6
Pilar	12		8	Lenguaje	7	8	8
				Matemáticas	6	8	7
Dolores	13	Viene de otra ciudad	6	Lenguaje	7	8	7
				Matemáticas	2	3	2
María del Carmen	12		7	Lenguaje	7	7	7
				Matemáticas	7	7	7
Lucila	11	Déficit auditivo leve	6	Lenguaje	5	4	4
				Matemáticas	8	7	7

A partir de las características de nuestros alumnos vamos a realizar las siguientes tareas:

• La función de probabilidad de las calificaciones medias del curso anterior.
• La función de probabilidad de las calificaciones de matemáticas para cada uno de los meses de este curso.
• La función de probabilidad de las calificaciones de lenguaje para cada uno de los meses.
• A partir de la función de distribución anterior, indica a qué distribución matemática teórica se parece.
• La función de distribución de las calificaciones medias para la asignatura de lenguaje de este curso.
• A partir de la función de distribución anterior, indica a qué distribución estadística teórica se parece.
• La función de distribución de las calificaciones medias para la asignatura de matemáticas de este curso.
• A partir de la función de distribución anterior, indica a qué distribución matemática teórica se parece.
• ¿Cuál es la probabilidad de que si pedimos un alumno voluntario salga alguien con un algún problema fisiológico que haya obtenido una calificación en el curso anterior inferior a 7?
• ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno que haya obtenido una calificación media de 7 el curso pasado, haya obtenido en lenguaje un 5 en el último mes (3º mes)?

Como parte del equipo directivo del centro

En la siguiente tabla de ejercicios 2 se indican los datos (simulados y ficticios) económicos de un centro escolar. En la tabla de ejercicios 3, se recogen datos básicos (también simulados y ficticios) sobre el personal del centro. Se supone que el centro cuanta con 30 maestros, 7 personas de limpieza, 5 administrativos, 1 persona de mantenimiento y un total de 678 alumnos.

Tabla del ejercicio 2. Resumen presupuestario anual de nuestro centro

	2009			2010			2011
Concepto	Haber	Debe	Total	Haber	Debe	Total	Haber	Debe	Total
Matrículas	120.000		120.000	100.000		100.000	100.000		100.000
Mensualidades	210.000		330.000	210.000		310.000	200.000		300.000
Cuotas asociaciones vinculadas	9.000		339.000	10.000		320.000	10.000		310.000
Subvenciones	7.000		346.000	6.000		326.000	5.000		315.000
Editorial	28.000		374.000	30.000		356.000	30.000		345.000
Profesorado		150.000	224.000		180.000	176.000		170.000	175.000
Limpieza		28.000	196.000		30.000	146.000		30.000	145.000
Mantenimiento		23.000	173.000		25.000	121.000		25.000	120.000
Fungible		50.000	123.000		60.000	61.000		60.000	60.000
Inventariable		18.000	105.000		18.000	43.000		20.000	40.000
Difícil justificación		10.000	95.000		11.000	32.000		12.000	28.000

Tabla del ejercicio 3. Recursos humanos e incidencias (datos simulados)

	2009		2010		2011
Concepto	Número	Observaciones	Número	Observaciones	Número	Observaciones
Contratación de profesorado	5		3	-
Quejas	58	30 hacia maestros, 20 administrativos, 8 de relaciones entre alumnos	20	10 administrativos, 8 de relaciones entre alumnos y 2 de limpieza	35	25 de maestros y 5 administrativos
Inspecciones	2	Superadas	7	2 con sugerencias	0
Contrataciones externas	-		2	Limpieza	1	Limpieza
Terminación de contratos	10	8 maestros y 2 de limpieza	10	10 maestros	2	2 maestros

A partir de estos datos realizar las siguientes tareas:

• La función de distribución de gastos y de ingresos.
• La función de probabilidad de contrataciones y ceses.
• La función de probabilidad de quejas.
• Realizar una gráfica de tendencia de ingresos y gastos.
• Realizar una gráfica de tendencias de incidencias (una por cada una de ellas).
• Las funciones de probabilidad y de distibución ¿parecen organizarse según alguna función estadística conocida?

En el departamento de formación

Como parte del departamento de formación de la empresa, tenemos que llevar un registro del desarrollo de las actividades formativas que se organizan. En la siguiente tabla tenemos los datos básicos de varios cursos en los últimos tres años.

Tabla del ejercicio 4. Seguimiento de cursos

Curso	Inscritos			Abandono			Calificación (aptos)
	2009	2010	2011	2009	2010	2011	2009	2010	2011
Word	4	7	10	2	5	5	2	2	5
Access	2	4	8	0	1	2	2	3	6
Plan de contabilidad general	12	12	12	0	1	0	12	11	12
Gestión del tiempo	10	8	8	8	5	4	2	3	4

A partir de la tabla del ejercicio 4 realizar las siguientes tareas:

• La función de distribución de inscripciones, abandonos y calificaciones para cada año y curso.
• Realizar una gráfica de tendencia de inscripciones y abandonos.
• ¿Alguna de las funciones de probabilidad parece distribuirse según un patrón conocido?
• ¿Qué te sugiere la relación entre calificaciones, inscripciones y abandonos?